Al livello del mare le particelle secondarie, più facilmente misurabili, sono i muoni. Se tenete il palmo della vostra mano verso il cielo, ogni secondo è attraversato da un muone. L’intensità dei muoni è, infatti, di circa 1 muone ogni cm2 ogni minuto. Queste particelle sono simili agli elettroni, ma hanno una massa 200 volte superiore. Il muone, inoltre, è una particella caratterizzata da una vita media di circa 2 milionesimi di secondo, passato questo tempo dalla loro creazione, decade ossia scompare e al suo posto appaiono altre tre particelle: un elettrone e due neutrini.
Un’inaspettata lunga vita
Molti si ricorderanno di Bilbo Baggins, il personaggio principale de Lo Hobbit di J. R. R. Tolkien e molti, inoltre, si ricorderanno la sua inaspettata lunga vita che insospettì anche il saggio Gandalf il grigio. Bilbo aveva raggiunto la veneranda età di 111 anni, un’età spropositata per la piccola razza degli hobbit, permessa solo grazie al terribile e malvagio Unico Anello che il piccolo hobbit custodiva gelosamente.
In fisica esiste una storia simile che ha per protagonista una particella elementare: il muone. Abbiamo già introdotto che il muone è una particella instabile e, dopo circa 2.2 μs, decade in un elettrone, un antineutrino elettronico e un neutrino muonico. Tuttavia la sua vita media sembra non bastare per arrivare dal punto di produzione nell’alta atmosfera alla superficie della Terra, per cui come mai riusciamo ad osservare i muoni anche a livello del mare?
Per spiegare questo fenomeno partiamo calcolando la probabilità che il muone ha di decadere in ogni istante come il rapporto tra l’intervallo di tempo che consideriamo \bigtriangleup t e la sua vita media τ: \frac{\bigtriangleup t}{\tau}, inoltre, la probabilità che non decada (sopravviva) al tempo t=\bigtriangleup t è (1-\bigtriangleup t/\tau) e che sopravviva al tempo t=2\bigtriangleup t è (1-\bigtriangleup t/\tau)^2 .
Per questo procedendo in questo modo in generale per t=N\bigtriangleup t otteniamo:
p(t)=(1-\frac{t}{N\tau})
che per N molto grandi diventa:
p(t)=e^{-\frac{t}{\tau}}.
Ora sapendo che lo spessore dell’atmosfera è di 10 km e che la velocità del muone è circa quella della luce possiamo calcolare il tempo che impiega il muone per arrivare sulla superficie terrestre:
t=\frac{10\,km}{3\times10^5\,km/s} \sim 33\mu s
e la probabilità che arrivi sulla superficie è:
e^{-\frac{t}{\tau}}\simeq10^{-7}.
La probabilità che troviamo è molto piccola e non può assolutamente giustificare il numero di muoni che vediamo a livello del mare.
Risolvere questo problema non è facile e necessita l’uso della Relatività Ristretta. In effetti, il muone viaggia alla velocità della luce rispetto ad un osservatore fermo sulla superficie della Terra e per questo percepisce il tempo scorrere più lentamente. La vita media misurata dall’osservatore fermo sulla Terra deve essere moltiplicata per un fattore chiamato fattore di Lorentz γ:
\tau_{Terra}=\gamma \tau.
In questo modo, attraverso la Relatività Ristretta, riusciamo a tenere conto della dilatazione dei tempi per oggetti che vanno a velocità prossime a quella della luce.
Possiamo azzardare qualche conto in più sapendo che i muoni a livello del mare hanno un’energia totale minima di circa 3 GeV/c2 e che l’energia totale relativistica ha questa forma:
E=\gamma m_{\mu} c^2.
Dalle relazioni sopra possiamo ricavare un \gamma\sim29 con cui calcolare poi:
p(t)=e^{-\frac{t}{\tau_{Terra}}}=0.6,
cioè un muone prodotto nell’alta atmosfera ha circa il 60 % delle possibilità di arrivare sulla superficie terrestre, una probabilità ben più grande di quella che avevamo calcolato prima.
In conclusione grazie agli effetti relativistici dovuti alla loro velocità siamo in grado di spiegare la presenza dei muoni anche a livello del mare.
Per cui nessun anello magico per la nostra particella muonica, un pizzico di fisica e l’inaspettata lunga vita è presto spiegata.
